What is integration?
What is differentiation?
What is Sinϴ?
What is Cosϴ?
what is RMS value of AC?
Integration क्या होता है?
जिस प्रकार कोई मकान बनाने के लिए या कोई फ़र्निचर बनाने के लिए, बहुत सारे औजारों की जरूरत पड़ती है, ठीक उसी प्रकार गणित में problem solve करने के लिए +,-,×,÷ आदि, गणित के औज़ार हैं। Integration या समाकलन भी इन्ही मे से एक है। जैसे लकड़ी के काम में काटने या ठोकने के लिए हथौड़ी और आरी जैसे साधारण औजारों की जरूरत पड़ती है, परंतु यदि लकड़ी में कोई खास डिज़ाइन बनाना हो तो बड़ी मसीनों की जरूरत पड़ती है, ठीक उसी प्रकार गणित में साधारण संख्याओं को जोड़ने के लिए + का स्तेमाल किया जाता है, परंतु जटिल(complex) संख्याओं को जोड़ने के लिया Integration का स्तेमाल किया जाता है।
example:- यदि 1 और 2 को जोड़ना हो तो 1+2 करेंगे। + द्वारा दोनों संख्याओं को आसानी से जोड़ा जा सकता है। पर यदि 1 से 2 के बीच की सारी संख्याओं को जोड़ना हो तो मामला उलझ जाता है। 1+1.1+1.12+1.13+1.1112+1.125+...............∞...............+2=??? 1 से 2 के बीच तो अनंत संख्या हैं। यहीं पर Integration(ƒ) का महत्वपूर्ण योगदान है। (ƒ की limit 1 से 2 तक)
example2:- Non-uniform Curve का area निकालने के लिए। यदि curve को दो rectangular भागों में बाँट कर दोनों भागों का area अलग-अलग निकाल कर जोड़ दें, तब जो area मिलेगा, वह पूरा सही नहीं होगा। यदि curve को बहुत सारे छोटे-छोटे टुकड़ों में बाँट दें और सबका area अलग-अलग निकाल कर जोड़ दें तो हम सही उत्तर के काफी करीब होंगे। परंतु यदि curve के अनन्त टुकड़े कर दें, और तब सबका area निकाल कर एक साथ जोड़ दें तब हम curve के area के सबसे सही उत्तर के करीब होंगे। ऐसी स्थिति में अनन्त टुकड़ों के एरिया को साधारण + से नहीं जोड़ा जा सकता है। अतः यहाँ Integration कम आता है।
example3:- AC बिजली में वोल्टेज का मान लगातार समय के साथ परिवर्तित होता रहता है। यदि मध्य मान(mean value) निकालने के लिए आधे चक्र में 100 बार वोल्टेज नापी जाए तो बार-बार अलग-अलग रीडिंग मिलेंगी। यदि 1000 बार नापी जाए, तब भी अलग-अलग रीडिंग मिलेंगी। अतः यदि हमें सबसे सही मध्य मान चाहिए तो पहले हमें 0 से π तक अनन्त values को जोड़ना होगा। यहाँ पर Integration का use होता है। (ƒ with limit 0 to π) इसके बाद ही हम मध्य मान निकाल पायेंगे।
Differential क्या होता है?
जिस प्रकार + का उल्टा - होता है, ठीक उसी प्रकार Integration का उल्टा differential होता है।
What is SinΘ?
SinΘ बताता है कि कोई बिन्दु या वष्तु, ground से कितना ऊपर या नीचे है।
माना कि कोई पत्थर ground से को 30° के angle पर फेंका है। यदि पत्थर के 20 mtr दूर जाने के बाद हम जमीन से पत्थर कि ऊंचाई जानना चाहते हैं, तब हम दूरी को sinΘ से गुणा करेंगे जहां Θ = ground और पत्थर के फेंके जाने की दिशा के बीच का angle है।
इसी प्रकार यदि जमीन पर 330° पर सुरंग खोद रहे हों तब अगर हमे पता लगाना है की 20 mtr लंबाई की सुरंग खोदने के बाद हम जमीन के level से कितना नीचे पहुंचेंगे, तो हम लंबाई को sinΘ से गुणा करेंगे।
अतः सपष्ट है कि sinΘ से ground level से किसी भी बिन्दु कि गहराई या ऊंचाई का पता लगाया जा सकता है।
What is CosΘ?
जिस प्रकार Sin द्वारा ऊपर या नीचे की दूरी परिभाषित होती है, उसी प्रकार Cos द्वारा आगे या पीछे की दूरी निकली जाती है। CosΘ को ऊपर और नीचे की दिशा में दूरी से कोई मतलब नहीं है।
What is RMS (Root mean square) value in AC?
(RMS value का उत्तर लिखने के लिए केवल पीले background वाली line को लिखें। RMS के लिए नीचे दी गयी व्याख्या AC की वोल्टेज के लिए है, परंतु यदि AC की धारा(current) के लिए RMS value निकालनी हो, तब सभी 'v' और 'V' को 'i' और 'I' से बदल दें और वोल्टेज की जगह धारा या current लिखें।)
हम जानते हैं की AC में वोल्टेज लगातार बदलती रहती है। यदि हम battery की DC वोल्टेज की बात करें तो, DC नहीं बदलती है। अगर हम 12 volt की battery की DC को multimeter से बार-बार चेक करें तो हर बार 12 volt ही रहेगी। परन्तु AC के एक पूरे चक्र के आधे को बार-बार नापें तो हर बार अलग-अलग रीडिंग मिलेगी, और बाकी आधे चक्र में वही रीडिंग नेगेटिव - में मिलेगी।
अतः जब वोल्टेज एक जगह पर रुकती ही नहीं है, तब हम कैसे कह सकते हैं, कि हमारे घर में 230 volt AC आती है? इसी समस्या का समाधान करने के लिये AC की RMS(Root Mean Square) यानी हिन्दी में, वर्ग मध्य मूल निकाला जाता है। अतः हमारे घरों में जो बिजली आती है, वह AC वोल्टेज का वर्ग मध्य मूल है।
असल में हमको AC की 0 से Vmax तक और Vmax से पुनः 0 तक की सारी वोल्टेज का मध्य मान निकालना होता है, जिसके लिये AC की 0 से π तक, सारी वोल्टेज को जोड़ कर π से ÷ करना होता हैं। (सिर्फ आधे चक्र की ही RMS मान निकलते हैं क्योंकि बाकी के आधे चक्र का मान भी उतना ही होगा, बस उसकी दिशा विपरीत होगी) परन्तु यह काम इतना सीधा नहीं है। AC में किसी भी छण वोल्टेज का मान v = Vmax×SinΘ के बराबर होता है। जहां Θ = 0 से π के बीच का कोण, यानी 0 से 180° के बीच का कोण है। कोण के बदलने के साथ-साथ वोल्टेज भी बदलती रहती है।
क्योंकि AC में वोल्टेज लगातार परिवर्तित होती रहती है, अतः 0 से π तक अनंत मान प्राप्त होंगे। अतः इन अनन्त मान को जोड़ने के लिये v = Vmax × SinΘ का 0 से π तक integration करते हैं।
चित्र में तीन half cycle दिखायीं गयी हैं। यदि पहले अर्ध चक्र के लिये मध्य मान निकलते हैं, तो उत्तर positive आता है। यदि दूसरे अर्ध चक्र के लिये मध्य मान निकलते हैं तो उत्तर negative में आता है और यदि बीच के अर्ध चक्र के लिये ऊपर के सूत्र से मध्य मान निकलते हैं, तब उत्तर 0(शून्य) आयेगा, क्योंकि बीच के हिस्से में आधी cycle + और आधी - है। दोनों को जोड़ने से 0 प्राप्त होगा। अतः गणितज्ञों ने एक हल निकाला। मध्य मान निकालने के लिये पहले सारी values का square(वर्ग) कर दो फिर मध्य मान निकाल कर फिर से रूट(√) निकाल दो। दोनों एक दूसरे की विपरीत कम करते हैं। इसे समझने के लिये एक उदाहरण लेते हैं।
example:- 2+(-2)=0 है। पर हमें दोनों का योग + मे चाहिए और 0 भी नहीं आना चाहिए।
अतः दोनों का वर्ग करने पर= 2² + (-2)² = 4 + 4
अब दोबारा से मूल करने पर= √4 + √4 = 2 + 2 = 4 उत्तर + में है।
square(वर्ग) करने से - चिन्ह की समस्या का समाधान हो जाता है और root(√) करने से संख्या वापस अपनी पुरानी स्थिति में लौट जाती है।
अतः AC में सबसे पहले 0 से π तक सभी values(मान) का वर्ग(²) करते हैं और इसके बाद मध्य मान निकालने के लिये π से भाग(÷) देते है। फिर दोबारा से वापस मूल (√)निकाल देते हैं।
अंत में हमें पता चलता है कि AC की RMS value, AC के अधिक्तम मान को 0.707 से गुणा करने पर प्राप्त होती है।
अतः हमारे घरों में आने वाली बिजली कि अधिक्तम वोल्टेज 230 से भी ज्यादा होती है। 230 volt तो घर मे आने वाली बिजली का RMS मान है।
घर कि बिजली कि अधिक्तम वोल्टेज
Vmax = 230/0.707 = 325.32 volt है।
RMS value को प्रभावी मान या वास्तविक मान भी कहते हैं। (effective value or true value)
कृपया share और comment जरूर करें।
What is differentiation?
What is Sinϴ?
What is Cosϴ?
what is RMS value of AC?
Integration क्या होता है?
जिस प्रकार कोई मकान बनाने के लिए या कोई फ़र्निचर बनाने के लिए, बहुत सारे औजारों की जरूरत पड़ती है, ठीक उसी प्रकार गणित में problem solve करने के लिए +,-,×,÷ आदि, गणित के औज़ार हैं। Integration या समाकलन भी इन्ही मे से एक है। जैसे लकड़ी के काम में काटने या ठोकने के लिए हथौड़ी और आरी जैसे साधारण औजारों की जरूरत पड़ती है, परंतु यदि लकड़ी में कोई खास डिज़ाइन बनाना हो तो बड़ी मसीनों की जरूरत पड़ती है, ठीक उसी प्रकार गणित में साधारण संख्याओं को जोड़ने के लिए + का स्तेमाल किया जाता है, परंतु जटिल(complex) संख्याओं को जोड़ने के लिया Integration का स्तेमाल किया जाता है।
example:- यदि 1 और 2 को जोड़ना हो तो 1+2 करेंगे। + द्वारा दोनों संख्याओं को आसानी से जोड़ा जा सकता है। पर यदि 1 से 2 के बीच की सारी संख्याओं को जोड़ना हो तो मामला उलझ जाता है। 1+1.1+1.12+1.13+1.1112+1.125+...............∞...............+2=??? 1 से 2 के बीच तो अनंत संख्या हैं। यहीं पर Integration(ƒ) का महत्वपूर्ण योगदान है। (ƒ की limit 1 से 2 तक)
Differential क्या होता है?
जिस प्रकार + का उल्टा - होता है, ठीक उसी प्रकार Integration का उल्टा differential होता है।
What is SinΘ?
माना कि कोई पत्थर ground से को 30° के angle पर फेंका है। यदि पत्थर के 20 mtr दूर जाने के बाद हम जमीन से पत्थर कि ऊंचाई जानना चाहते हैं, तब हम दूरी को sinΘ से गुणा करेंगे जहां Θ = ground और पत्थर के फेंके जाने की दिशा के बीच का angle है।
इसी प्रकार यदि जमीन पर 330° पर सुरंग खोद रहे हों तब अगर हमे पता लगाना है की 20 mtr लंबाई की सुरंग खोदने के बाद हम जमीन के level से कितना नीचे पहुंचेंगे, तो हम लंबाई को sinΘ से गुणा करेंगे।
अतः सपष्ट है कि sinΘ से ground level से किसी भी बिन्दु कि गहराई या ऊंचाई का पता लगाया जा सकता है।
What is CosΘ?
What is RMS (Root mean square) value in AC?
(RMS value का उत्तर लिखने के लिए केवल पीले background वाली line को लिखें। RMS के लिए नीचे दी गयी व्याख्या AC की वोल्टेज के लिए है, परंतु यदि AC की धारा(current) के लिए RMS value निकालनी हो, तब सभी 'v' और 'V' को 'i' और 'I' से बदल दें और वोल्टेज की जगह धारा या current लिखें।)
हम जानते हैं की AC में वोल्टेज लगातार बदलती रहती है। यदि हम battery की DC वोल्टेज की बात करें तो, DC नहीं बदलती है। अगर हम 12 volt की battery की DC को multimeter से बार-बार चेक करें तो हर बार 12 volt ही रहेगी। परन्तु AC के एक पूरे चक्र के आधे को बार-बार नापें तो हर बार अलग-अलग रीडिंग मिलेगी, और बाकी आधे चक्र में वही रीडिंग नेगेटिव - में मिलेगी।
असल में हमको AC की 0 से Vmax तक और Vmax से पुनः 0 तक की सारी वोल्टेज का मध्य मान निकालना होता है, जिसके लिये AC की 0 से π तक, सारी वोल्टेज को जोड़ कर π से ÷ करना होता हैं। (सिर्फ आधे चक्र की ही RMS मान निकलते हैं क्योंकि बाकी के आधे चक्र का मान भी उतना ही होगा, बस उसकी दिशा विपरीत होगी) परन्तु यह काम इतना सीधा नहीं है। AC में किसी भी छण वोल्टेज का मान v = Vmax×SinΘ के बराबर होता है। जहां Θ = 0 से π के बीच का कोण, यानी 0 से 180° के बीच का कोण है। कोण के बदलने के साथ-साथ वोल्टेज भी बदलती रहती है।
क्योंकि AC में वोल्टेज लगातार परिवर्तित होती रहती है, अतः 0 से π तक अनंत मान प्राप्त होंगे। अतः इन अनन्त मान को जोड़ने के लिये v = Vmax × SinΘ का 0 से π तक integration करते हैं।
परन्तु यहाँ भी एक समस्या है। इस तरह हम AC के केवल positive हिस्से का मध्य मान निकाल पायेंगे। जबकि सूत्र ऐसा होना चाहिए की AC के एक पूरे चक्र में, किसी भी आधे हिस्से का मान निकाल सके।
example:- 2+(-2)=0 है। पर हमें दोनों का योग + मे चाहिए और 0 भी नहीं आना चाहिए।
अतः दोनों का वर्ग करने पर= 2² + (-2)² = 4 + 4
अब दोबारा से मूल करने पर= √4 + √4 = 2 + 2 = 4 उत्तर + में है।
square(वर्ग) करने से - चिन्ह की समस्या का समाधान हो जाता है और root(√) करने से संख्या वापस अपनी पुरानी स्थिति में लौट जाती है।
अंत में हमें पता चलता है कि AC की RMS value, AC के अधिक्तम मान को 0.707 से गुणा करने पर प्राप्त होती है।
अतः हमारे घरों में आने वाली बिजली कि अधिक्तम वोल्टेज 230 से भी ज्यादा होती है। 230 volt तो घर मे आने वाली बिजली का RMS मान है।
घर कि बिजली कि अधिक्तम वोल्टेज
Vmax = 230/0.707 = 325.32 volt है।
RMS value को प्रभावी मान या वास्तविक मान भी कहते हैं। (effective value or true value)
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